「スペクトル」「スペクトル密度」の違い

 電力スペクトル、パワースペクトル、電力スペクトル密度等の違いが気になったので調べてみた。

用語

 「スペクトル」と「スペクトル密度」の意味的な違いは無いようだ。

それぞれ全て同義。

エネルギースペクトル密度

パーセバルの定理
\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^{2} dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^{2} d\omega
|x(t)|^{2}はエネルギーなので、左辺は時間領域での全体のエネルギー。右辺は周波数領域での全体のエネルギー。
 よって、右辺の被積分関数|X(\omega)|^2は、単位周波数あたりのエネルギー=エネルギースペクトル密度。
 有限の時間範囲の波形にはこちらを使う。自己分散との関係は、\Phi(\omega) = |X(\omega)|^{2}

パワースペクトル密度

 エネルギースペクトルの時間平均。
平均電力P = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} |x(t)|^{2} dt = \phi(0) = \sum^\infty_{n=-\infty}|C_n|^{2} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^{2} d\omegaより、
\lim_{T \to \infty} \frac{|X(\omega)|^{2}}{T}パワースペクトル密度。
 無限の時間範囲の波形(周期波形含む)にはこちらを使う。自己分散との関係は、\Phi(\omega) = \frac{|X(\omega)|^{2}}{T} = |C_{n}|^{2}

 自己相関から見ると、扱う信号の範囲が違うだけでどちらも同じようなものらしい。

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